Thừa số tích phân

Ta đã biết rằng điều kiện cần và đủ để một phương trình vi phân dạng P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 là một phương trình vi phân toàn phần : \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}

Như vậy, ta xét loại phương trình vi phân có dạng  \begin{cases}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\\\dfrac{\partial P}{\partial y}\neq\dfrac{\partial Q}{\partial x}\end{cases}

Và ta cũng đã biết đến các dạng toán sử dụng thừa số tích phân p\neq 0 – hàm một biến đối với biến x hoặc y, để đưa phương trình này về dạng phương trình vi phân toàn phần.

Tuy nhiên, nếu quay trở lại định nghĩa thế nào là một thừa số tích phân, ta có một vấn đề cần nói đến ở đây.

Định nghĩa : Một hàm số p=p(x,y)\neq 0 được gọi là một thừa số tích phân nếu phương trình vi phân p(x,y)P(x,y)dx+p(x,y)Q(x,y)dy=0 là một phương trình vi phân toàn phần. Khi đó, phát sinh ra điều kiện cần và đủ đã được đề cập ở trên : \dfrac{\partial \left(pP\right)}{\partial y}=\dfrac{\partial \left(pQ\right)}{\partial x}

Điều này tương đương với \displaystyle{P\dfrac{\partial p}{\partial y}-Q\dfrac{\partial p}{\partial x}=p\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\hphantom((1)}

Ở các trường hợp cụ thể khi tìm thừa số tích phân theo một biến p=p(x)\neq 0 hoặc p=p(y)\neq 0 thì ta đã xử lý được. Tuy nhiên, thử đặt vấn đề nếu thừa số tích phân p đều phụ thuộc vào cả hai biến thì ta phải xử lý như thế nào? Ngoài việc phải giải phương trình (1) thì quá khó và liệu ta có thể phát triển thêm điều kiện nào khác?

Cho đến hiện nay thì vấn đề này vẫn chưa có được một câu trả lời rõ ràng.

Advertisements

Chuỗi Fourier (Fourier Transform)

Sau đây là một chuỗi bài về chuỗi Fourier, chủ yếu lược dịch từ quyển sách của E. Stein “Fourier Analysis”.

Cho {f} là một hàm khả tích trên đoạn {[0,1]} thỏa mãn {f(0)=f(1)}. Ta có thể xem nó như là một hàm tuần hoàn hay là một hàm trên nhóm compact {{\mathbb R}/{\mathbb Z}}. Chuỗi Fourier của {f} là chuỗi hình thức

\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} a_n e^{2 i \pi nx}

với hệ số thứ {n}

\displaystyle a_n=\hat f(n)=\int_0^1 f(x)e^{-2 i \pi nx} dx.

Với mỗi số tự nhiên {N}, ta xét tổng riêng thứ {N}

\displaystyle S_N(f)=\sum_{n=-N}^N a_n e^{2 i \pi nx}.

Câu hỏi cơ bản của lý thuyết các chuỗi Fourier là khi nào thì {S_N(f)} hội tụ đến {f}? Tất nhiên là có nhiều cách hội tụ khác nhau, nhưng ở đây ta quan tâm trước hết đến hội tụ điểm : với điều kiện nào thì dãy số {S_N(f)(x)} hội tụ đến {f(x)} với {x\in [0,1]} đã cho.

Ta sẽ xét hai ví dụ: một không hội tụ tuyệt đối, một hội tụ tuyệt đối. Để cho tiện, ta xét hàm {f} trên một đoạn {[a,b]} có độ dài {L}. Chuỗi Fourier của nó sẽ là

\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{n=\infty} a_n e^{2 i \pi nx/L}

với

\displaystyle a_n= \hat f(n)={1\over L}\int_a^b f(x)e^{-2 i \pi nx/L} dx.

    1. Hàm lưỡi cưa. Xét hàm trên đoạn {[-1,1)} cho bởi {f(x)=x}. Nó thác triển thành một hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng {2} mà đồ thị trông như một lưỡi cưa. Hàm tuần hoàn này liên tục khắp nơi ngoại trừ tại các số nguyên lẻ. Hệ số hằng {\hat f(0)} bằng không trong khi các hệ số khác có thể tính được bằng tích phân từng phần

      \displaystyle \begin{array}{rcl} {1\over 2}\int_{-1}^1 x e^{i \pi n x} dx &=& {1\over 2} \left[ {x e^{i \pi n x} \over i \pi n} \right]_{-1}^1 - {1\over 2 i \pi n}\int_{-1}^1 e^{i \pi n x} dx \\ &=& {(-1)^n \over i \pi n} \end{array}

      Chuỗi Fourier

      \displaystyle \sum_{n\not=0} {(-1)^{n+1} \over in} e^{i \pi n x}= 2 \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {\sin n\pi x \over n}

      không hôi tụ tuyệt đối tại bất kỳ điểm nào của đoạn {[-1,1]}.

    2. Hàm bình phương. Xét hàm trên đoạn {[-1,1]} cho bởi {f(x)=x^2}. Nó thác triển được thành một hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng {2}. Hàm tuần hoàn này liên tục khắp nơi, nó cũng khả vị khắp nơi ngoại trừ tại các số nguyên lẻ nơi mà đạo hàm của nó có một bước nhảy . Trong chuỗi Fourier , hệ số hằng bằng

      \displaystyle {1\over 2}\int_{-1}^1 x^2 dx= {1\over 3}.

      Các hệ số khác có thể tính được bằng tích phân từng phần

      \displaystyle \begin{array}{rcl} {1\over 2} \int_{-1}^1 x^2 e^{i \pi n x} dx &=& {1\over 2} \left[ {x^2 e^{i \pi n x} \over i \pi n} \right]_{-1}^1 - {1\over i \pi n}\int_{-1}^1 x e^{i \pi n x} dx \\ &=& (-1)^n { 2 \over \pi^2 n^2}. \end{array}

      Chuỗi Fourier

      \displaystyle {1 \over 3}+ \sum_{n\not=0} (-1)^n { 2e^{i \pi n x} \over \pi^2 n^2} = {1 \over 3}+ \sum_{n=1}^\infty (-1)^n 4{\cos n \pi x\over \pi^2 n^2}.

      hội tụ đều và tuyệt đối. Chúng ta sẽ chứng minh sau là chuỗi này hội tụ về {f}. Tính {f(0)} bằng chuỗi Fourier bạn có đẳng thức

      \displaystyle 1 - {1 \over 2^2} + {1\over 3^2} - \cdots = {\pi^2 \over 12} .

      Tính {f(1)} bằng chuỗi Fourier, bạn tìm thấy đẳng thức của Euler

      \displaystyle 1 + {1 \over 2^2} + {1\over 3^2} + \cdots = {\pi^2 \over 6}.

Ví dụ vừa rồi cho thấy sức mạnh của tính chất hội tụ điểm của chuỗi Fourier.

Vậy thì khi nào dãy số {S_N(f)(x)} hội tụ đến {f(x)} với {x\in [0,1]} đã cho. Câu trả lời chung chung, nhưng đáng lưu ý, là tính hội tụ của chuỗi Fourier tại điểm {x} chỉ phụ thuộc vào tính liên tục hay khả vi của hàm {f} tại một lân cận bé tùy ý của điểm {x}. Câu trả lời cụ thể sẽ được phân tích sau.

*

*    *

Trong phần thứ hai, ta đặt câu hỏi hơi siêu hình về “ý nghĩa” của chuỗi Fourier. Câu trả lời là khai triển hàm tuần hoàn thành chuỗi Fourier là một trường hợp đặc biệt của phân tích phổ.

Miền định nghĩa của hàm tuần hoàn là nhóm abel compact {\mathbb R/\mathbb Z}. Với mỗi {y\in [0,1]}, xê dịch một khoảng {y} cho bạn một toán tử {\tau_y} trên không gian các hàm {f} trên {\mathbb R/\mathbb Z}

\displaystyle (\tau_y f)(x)= f(x-y).

Các toán tử {\tau_x} lập thành một họ các toán tử giao hoán mà các hàm {e^{2 i \pi nx}} chính là các vec tơ riêng

\displaystyle \tau_y e^{2i \pi nx}= e^{2 i \pi n(x-y)}= e^{-2 i \pi ny} e^{2 i \pi nx}.

Khai triển thành chuỗi Fourier

\displaystyle f(x)=\sum_{-\infty}^\infty a_n e^{2 i \pi nx}

có thể xem như cách biểu diễn {f} thành tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các vec tơ riêng. Để cho tổng có nghĩa, ban cần làm rõ không gian các hàm {f} là không gian nào, hàm liên tục, hàm khả tích hay là bình phương khả tích và trang bị cho nó một tô pô thích hợp.

Một thủ thuật quen thuộc của giải tích điều hòa là nới rộng họ các toán tử {\tau_x}. Mỗi hàm khả tích {\phi} trên {[0,1]} tác động lên {f} bằng công thức “tích chập”

\displaystyle (\phi* f)(x)=\int_0^1 \phi(y) f(x-y) dy.

Theo một nghĩa nào đó, đây chỉ là cách lấy trung bình của các toán tử {\tau_y} với trọng cho bởi {\phi(y)}. Theo một nghĩa nào đó, nếu thay {\phi} bằng phân bố Dirac {\delta_y} thì ta tìm lại được toán tử {\tau_y}. Các hàm {e^{2 i \pi nx}} tất nhiên vẫn là vec tơ riêng của các toán tử tích chập.

Tổng riêng trong chuỗi Fourier là một trường hợp đặc biệt của tích chập :

\displaystyle \begin{array}{rcl} S_N(f)(x) &=& \sum_{n=-N}^N \hat f(n) e^{2i \pi nx} \\ &=& \sum_{n=-N}^N e^{2i \pi nx}\int_0^1 f(y) e^{-2 i \pi ny} dy\\ &=& \sum_{n=-N}^N \int_0^1 e^{2 i \pi n(x-y)} f(y) dy \\ &=& \int_0^1 \sum_{n=-N}^N e^{2 i \pi n(x-y)} f(y) dy \end{array}

cho nên {S_N(f)=D_N * f} với

\displaystyle D_N(x) = \sum_{n=-N}^N e^{2 i \pi nx} \ \ \ \ \

là nhân Dirichlet thứ {N}.

Như ta đã nhận xét tích chập với phân bố Dirac {\delta_0} là toán tử đơn vị {\delta_0*f=f}. Vì thế câu hỏi vè sự hội tụ của chuỗi Fourier có thể qui về sự hội tụ của nhân Dirichlet {D_N} về phân bố Dirac {\delta_0} khi N\to\infty. Như ta sẽ thấy ở bài tiếp sau, nhân Dirichlet không hội tụ về {\delta_0}, chính vì thế chuỗi Fourier đôi khi hội tụ, đôi khi không. Tuy thế, việc phát biểu lại bài toán dưới dạng hội tụ của nhân về phân bố Dirac cho ta một cái nhìn hoàn toàn mới về tính hội tụ của chuỗi Fourier.

*

*     *

Bây giờ bạn cần làm rõ khi nào một họ các nhân được coi là xấp xỉ của toán tử đơn vị. Họ các nhân {[K_n(x)]_{n=1}^\infty} bao gồm các hàm liên tục trên {[0,1]} được coi là xấp xỉ đơn vị nếu

  1. với mọi {n}, {\int_{0}^1 K_n(x) dx=1},
  2. tồn tại {M>0} sao cho với mọi {n} ta có {\int_0^1 |K_n(x)| \leq M},
  3. với mọi {\delta>0}, ta có {\int_\delta^{1-\delta} K_n(x) dx \rightarrow 0} khi {n\rightarrow \infty}.

Các giả thiết trên đảm bảo rằng dãy {K_n * f} hội tụ về {f}. Cho một họ {[K_n(x)]_{n=1}^\infty} xấp xỉ đơn vị và {f} là một hàm khả tích trên {[0,1]}. Khi đó

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} (f*K_n)(x)=f(x)

mỗi khi hàm {f} liên tục tại {x}. Hơn nữa, nếu {f} liên tục khắp nơi thì {K_n * f} hội tụ đều về {f}.

Buồn một nỗi, họ các nhân của Dirichlet

\displaystyle D_N(x)={\sin(2N+1)\pi x \over \sin (\pi x)}

không xấp xỉ đơn vị. Thật vậy \displaystyle \int_0^1 |D_N(x)| dx \geq c\log(N). Vì thế tính liên tục của f không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier.

Thay cho nhân của Dirichlet, bạn cũng có thể xét họ các nhân của Fejer

\displaystyle F_N(x)={1\over N}(D_0(x)+\cdots+D_{N-1}(x)).

và bạn kiểm tra được rằng

\displaystyle F_N(x)={1\over N}{ \sin^2(N \pi x) \over \sin^2(\pi x)}.

Bạn quan sát thây họ các nhân của Fejer xấp xỉ đơn vị. Rồi bạn rút ra kết luận là với mọi hàm khả tích {f} trên {[0,1]}, tại mỗi điểm liên tục {x}, {\sigma_N(f)(x)}={1\over N} (S_0(f)+\cdots+S_{N-1}(f)) hội tụ về {f(x)} khi {N \rightarrow \infty}. Khi {f} liên tục khắp nơi thì {\sigma_N(f)} hội tụ đều về {f}. Bạn nói rằng chuỗi Fourier hội tụ theo kiểu Cesaro. Tính liên tục của f không đảm bảo được sự hội tụ của chuỗi Fourier nhưng đảm bảo được sự hội tụ theo kiểu Cesaro.

Họ các nhân của Poisson

\displaystyle P_r(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} r^{|n|} e^{2 i \pi n x}

phụ thuộc vào tham số {r} với {0 \leq r <1} cũng rất đáng lưu ý. Bạn tính được

\displaystyle P_r(x)={1-r^2 \over 1-2r \cos (\pi x)+r^2}.

và từ đó bạn suy ra rằng họ này xấp xỉ đơn vị khi {r\rightarrow 1}. Bạn rút ra kết luận vơi mọi hàm khả tích {f} trên đoạn {[0,1]}, tại mỗi điểm liên tục {x}, {(f*P_r)(x)} hội tụ về {f(x)} khi {r\rightarrow 1}. Nếu {f} liên tục khắp nơi thì {(f*P_r)(x)} hội tụ đều về {f(x)}.

Tích chập {f*P_r} biểu diễn được dưới dạng tổng Abel

\displaystyle f* P_r = \sum_{n=-\infty}^\infty r^{|n|} a_n e^{in \pi x}=A_r(f)(x).

và bạn nói rằng chuỗi Fourier hội tụ theo kiểu Abel.

Nói chung, hội tụ thông thường kéo theo hội tụ kiểu Cesaro, hội tụ kiểu Cesaro kéo theo hội tụ kiểu Abel … Đôi lúc bạn muốn cho thêm giả thiết để có định lý theo chiều ngược lại. Một định lý theo chiều ngược lại gọi là định lý Tauber. Ngoài định lý gốc của Tauber, còn có triệu triệu định lý Tauberc biến thái và chúng thường rất có ích trong lý thuyết số giải tích. Một ví dụ điển hình là chứng minh định lý về các số nguyên tố mà chũng ta sẽ quay lại bàn sau.

*

*    *

Bạn có thể thắc mắc tại sao tôi lại đi chứng minh hội tụ theo kiểu Cesaro trong khi cái bạn muốn hiểu là sự hội tụ của chuỗi Fourier. Tôi nói với bạn rằng con đường của khoa học là như thế. Khi chưa đi đến điểm bạn muốn đến, cái bạn phải làm là thiết lập những điểm tựa vững chắc để khi leo lên đó bạn có thể nhìn ra bốn phương tám hướng. Khổ nhất là sau cuộc tranh luận vã mồ hôi, bạn quay lại đúng điểm nơi bạn đã xuất phát.

Hệ quả chính của định lý Fejer về hội tụ kiểu Cesaro của chuỗi Fourier là mọi hàm tuần hoàn liên tục có thể xấp xỉ đều bằng một đa thức lượng giác. Bạn không chứng minh được các tổng riêng {S_N(f)} của chuỗi Fourier xấp xỉ {f}, nhưng bạn đã chứng minh được rằng dãy các tổng Cesaro {\sigma_N(f)} hội tụ đều đến {f}. Nói một cách khác, bạn đã xây dựng một dãy đa thức lượng giác hội tụ đều đến {f} và đó sẽ là một điểm tựa vững chắc cho công cuộc nghiên cứu toán học của bạn.

Một hệ quả đáng lưu ý của đinh lý Fejer là các hệ số Fourier {a_n} của hàm tuần hoàn liên tục {f} hội tụ về không. Khẳng định này không chỉ đúng với các hàm liên tục mà còn đúng với mọi hàm khả tích (định lý Riemann-Lebesgue).

Nếu {f} là hàm liên tục và tuần hoàn, bạn biết rằng cho mọi {\epsilon>0}, với {N} đủ lớn, {|f(x)-\sigma_N(f)(x)|<\epsilon} với mọi {x}. Hệ số Fourier thứ {n} của {f(x)-\sigma_N(f)(x)} có trị tuyệt đối

\displaystyle |\int_0^1 (f(x)-\sigma_N(f)(x)) e^{-2\pi i nx } dx| < \epsilon.

Nếu {|n|>N}, hệ số Fourier thứ {n} của {\sigma_N(f)} bằng không cho nên vế trái của bất đẳng thức trên chỉ đơn giản là {|a_n|}. Vì thế, dãy {a_n} tiến về {0} khi {n\rightarrow \infty}.

Không “làm gì” thì ta cũng biết dãy các hệ số Fourier {a_n} của một hàm tuần hoàn và liên tục là bị chặn. Có “làm gì”, ta biết thêm dãy này hội tụ về không.

Hàm {f} càng trơn, thì dãy các hệ số Fourier của nó hội tụ càng nhanh. Nếu {f} thuộc vào lớp {C^1} tức là {f} khả vi với vi phân là một hàm liên tục, sử dụng tích phân từng phần như trong Fourier (1), bạn biết {a_n=O(n^{-1})}. Sử dụng thêm Riemann-Lebesgue như ở trên, bạn biết thêm {a_n = o(n^{-1})}. Tương tự như vậy, nếu {f} thuộc vào lớp {C^2}, bạn biết {a_n=o(n^{-2})}

Bạn vẫn chưa hiểu cái bạn muốn hiểu là sự hội tụ của chuỗi Fourier. Nhưng trên đường đi, bạn hiểu thêm vài điều thú vị như ở đây là tính hội tụ của các hệ số Fourier.

*

*    *

Bạn đã nóng ruột muốn biết khi nào thì chuỗi Fourier hội tụ. Bây giờ là lúc tôi có thể phát biểu một chỉ tiêu đơn giản cho sự hội tụ : chỉ tiêu này là một điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Cho {f} là một hàm tuần hoàn liên tục có đạo hàm tại một điểm {x_0}. Khi đó chuỗi Fourier sẽ hội tụ tại điểm {x_0}.

Bạn có thể giả thiết {x_0=0}{f(0)=0}. Bạn cũng có thể coi {f} như một hàm liên tục trên đoạn {[-1/2,1/2]} thỏa mãn {f(-1/2)=f(1/2)} và có đạo hàm tại điểm {0}. Cái bạn cần chứng minh là tích phân

\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} f(x)D_N (-x) dx = \int_{-1/2}^{1/2} f(x) {\sin(-(2N+1) \pi x) \over \sin (-\pi x )} dx

tiến về {0} khi {N} tiến ra {\infty}.

Cái khó chịu trong tích phân trên là mẫu số {\sin (-\pi x )}. Cái mẹo của bạn là xét hàm

{F(x)= f(x)/ \sin (-\pi x)}

với mỗi giá trị {x\not= 0}. Sử dụng nguyên tắc l’Hopital, bạn biết hàm này có giới hạn khi {x\rightarrow 0} và vì thế có thể thác triển thành một hàm liên tục trên đoạn {[-1/2,1/2]}. Tích phân ở trên nay có thể viết thành

\displaystyle \int_{-1/2}^{1/2} F(x) \sin (-(2N+1) \pi x) dx

và bạn chợt nhận ra rằng cái bạn muốn chứng minh là hệ quả của định lý Riemann-Lebesgue đã được nhắc đến.

Do tinh ý, bạn chợt băn khoăn vì hàm {F(x)} chưa chắc đã là một hàm tuần hoàn liên tục ; chết chửa {F(-1/2)=-F(1/2)}. Sự gián đoạn của hàm {F} tại một điểm thực ra không ảnh hường đến chứng minh định lý Riemann-Lebesgue mà bạn đã nắm vững. Định lý này đúng cho mọi hàm khả tích. Bạn cũng nhận ra rằng có thể làm yếu đi giả thiết liên tục trong định lý hội tụ điểm đươc nêu ở trên.

Có nhiều định lý hội tụ điểm của chuỗi Fourier tinh vi hơn, điển hình là định lý Carleson-Hunt khẳng đinh sự hội tụ hầu hết khắp nơi của mọi hàm {L^p} với {1<p < \infty }. Thú thật là tôi không biết chứng minh đinh lý này như thế nào nên không giúp bạn hơn được.

Có một định lý khác, dễ hơn, nhưng cũng rất quan trọng, đó là định định lý hội tụ của chuỗi Fourier trong không gian {L^2} theo chuẩn {L^2}. Nhưng chủ đề này nên để dành lại sau. Trong những bài tới, tôi xin kể với bạn một vài ứng dụng của chuỗi Fourier, vẫn tiếp tục dựa vào quyển Fourier Analysis của Stein.

*

*    *

Một bài toán kinh điển trong luyện thi học sinh giỏi là bài này. Chứng minh rằng nếu {\alpha} là số vô tỷ, dãy các số {n\alpha -[n\alpha]}, phần thập phân của {n\alpha} với {n\in \mathbb N} biên thiên, trù mật trong đoạn {[0,1]}. Lời giải dựa trên nguyên lý Dirichlet, còn được gọi là nguyên lý chuồng thỏ hoặc chuồng bồ câu tùy vào khu vực địa lý nơi bạn sinh sống.

Dùng chuỗi Fourier, Hermann Weyl chứng minh định đề mạnh hơn nhiều. Ông chứng minh rằng tập các phần thập phân {n \alpha - [n \alpha]} phân bố đều trên đoạn {[0,1]}. Nếu lấy một đoạn con {[a,b]} nằm giữa 0 và 1, xác suất để {n \alpha - [n \alpha]} rơi vào trong đoạn này đúng bằng {b-a}.

Gọi {I_{[a,b]}} là hàm đặc trưng của đoạn {[a,b]}, cái bạn muốn chứng minh là dãy số

\displaystyle {1\over N}\sum_{n=1}^N I_{[a,b]} (n \alpha-n[\alpha])

có giới hạn đúng bằng {b-a} khi {N} tiến ra vô cùng.

Thực ra khẳng định này có thể mở rộng ra cho mọi hàm liên tục, hoặc tổng quát hơn là cho các hàm giới nội liên tục trên từng đoạn. Để đỡ mệt, bạn chỉ xét trường hợp một hàm biến thực {f} liên tục tuần hoàn với chu kỳ bằng một và bạn muốn chứng minh rằng

\displaystyle {1\over N}\sum_{n=1}^N f (n \alpha)

hội tụ về {\int_0^1 f(x) dx} khi {N \rightarrow \infty}.

Theo định lý Fejer, bạn biết rằng mọi hàm liên tục tuần hoàn có thể xấp xỉ đều bằng đa thức lượng giác. Vì thế bạn chỉ cần chứng minh khẳng định trên cho các hàm {e^{2 i \pi m x}} với {m \in \mathbb Z}.

Đối với {m=0}, khẳng định trên là hiển nhiên. Đối với {m\not =0}, bạn muốn chứng minh rằng

\displaystyle {1\over N}\sum_{n=1}^N e^{2 i \pi mn \alpha}

tiến về {0} khi {N\rightarrow \infty}. Vì bạn biết cách cộng cấp số nhân từ rất lâu, nên bạn quả quyết rằng bạn làm được. Tự nhiên bạn cảm thấy ngỡ ngàng tại sao chứng minh định lý phân bố đều của Weyl lại đơn giản như thế. Bạn quên mất rằng bạn đã có Joseph Fourier làm đồng minh.

Tổng Ramanujan

Có một công thức thường được gắn với tên Ramanujan:

1+2+3+4+\cdots = - \displaystyle{\frac1{12}}

Về mặt toán học công thức này có vẻ không thể nào đúng, nhưng trong vật lý công thức này rất nổi tiếng. Nó liên quan đến lực Casimir và xuất hiện nhiều trong lý thuyết dây. Bình thường công thức này có thể giải thích được qua hàm zeta Riemann: \zeta(-1)=-\frac1{12}. Tuy nhiên ta có thể “chứng minh” nó chỉ dùng toán sơ cấp. Các bạn có thể xem video

 

Chứng minh công thức Euler cho đa diện bằng vật lý

Giải Nobel vật lý năm nay được trao cho ba nhà vật lý, Thouless, Haldane và Kosterlitz, vì những đóng góp liên quan đến các chuyển pha và các trạng thái tôpô. Nhân dịp này chúng ta sẽ dùng vật lý để chứng minh một công thức khá nổi tiếng, liên quan đến tôpô – công thức Euler cho đa diện. Công thức này nói rằng với một đa diện bất kỳ, số đỉnh V, số mặt F và số cạnh E của nó thoả mãn

V + F – E = 2.

Ví dụ với hình lập phương ta có V = 8, F = 6, E = 12, và 8 + 6 – 12 = 2. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.

Để chứng minh công thức này, ta sẽ lắp một mạch điện theo hình đa diện, thay mỗi cạnh của đa diện bằng một điện trở. Không quan trọng lắm các giá trị của điện trở là bao nhiêu, miễn là tất cả các điện trở đều khác không. Để cho đơn giản ta cho mỗi điện trở là 1 Ω. Sau đó ta chọn hai đỉnh và nối hai cực của một nguồn điện vào hai đỉnh đó, cũng không quan trọng lắm là đỉnh nào. Chẳng hạn với hình lập phương ta có thể tưởng tượng ra mạch điện như sau:

Khi ta nối một mạch điện như vậy, tất nhiên điện sẽ chạy trong mạch một cách nhất định. Ta có thể đặt nhiều câu hỏi với mạch điện này. Ví dụ ta có thể hỏi điện trở của mạch là bao nhiêu. Câu hỏi tôi sẽ hỏi là như sau: giả sử tổng dòng điện chạy qua mạch là 1 Amper, dòng điện chạy qua từng điện trở là bao nhiêu? (Tất nhiên là nếu trả lời được câu hỏi này thì có thể tìm ra được điện trở của mạch).

Để trả lời câu hỏi trên, ta sẽ lập một hệ phương trình cho phép ta tìm được dòng điện chảy qua từng điện trở. Giả sử AB là một cạnh, ta ký hiệu IAB là dòng điện chạy từ đỉnh A đến đỉnh B. Ta có IAB = –IBA, và có tổng cộng E đại lượng này. Ta sẽ lập một hệ phương trình để tìm giá trị của các dòng điện này.

Có hai loại phương trình, xuất phát từ hai định luật Kirchhoff. Loại đầu tiên là như sau. Giả sử A là một đỉnh, và B, C, D… là các đỉnh kề A. Ta có phương trình:

IAB + IAC + IAD + … = 0 hoặc 1 hoặc –1.

Vế phải là 0 nếu như đỉnh A không phải một trong hai đỉnh nối vào nguồn điện, là 1 nếu A được nối vào cực dương và –1 nếu A nối vào cực âm. Đơn giản phương trình này nói dòng điện chạy vào một đỉnh phải bằng dòng chạy ra từ đó.

Ta có tổng cộng bao nhiêu phương trình như thế này? Đếm thì thấy tổng cộng là V phương trình, nhưng thực ra chúng không độc lập với nhau. Có thể thấy điều này bằng cách lấy tổng tất cả các phương trình trên. Ta sẽ được đồng nhất thức 0 = 0, vì ở vế trái với mỗi IAB bao giờ cũng có IBA. Vế phải thì tất nhiên tổng là 1 + (–1) cộng nhiều số 0, cũng bằng không. Như vậy chỉ có V – 1 phương trình độc lập.

Nhưng những phương trình trên không phải tất cả các phương trình ta phải viết ra. Có một loạt các phương trình khác (phương trình loại hai). Ta giả sử ABCD là một mặt (ta cho nó là tứ giác ở đây nhưng logic tiếp theo đúng với mọi đa giác). Ta sẽ có phương trình

IAB + IBC + ICD + IDA = 0.

Tại sao có phương trình này? Đó là do điện trở trên mỗi cạnh là 1 Ω nên IAB cũng là hiệu điện thế giữa hai đỉnh AB: IAB = UA – UB. Từ đó phương trình ở trên trở thành hiển nhiên. Tổng cộng có F phương trình như vậy. Tuy nhiên các phương trình này cũng không độc lập, nếu cộng tất cả các phương trình này lại ta lại có đồng nhất thức 0 = 0, do đó là chỉ có F – 1 phương trình loại hai.

Tổng cộng ta có như vậy là (V – 1) + (F – 1) = V + F – 2 phương trình.

Ta phải giải các phương trình này để tìm các dòng IAB. Có bao nhiêu ẩn số tất cả? Số ẩn là số cạnh E.

Thiên nhiên cho ta biết khi nối mạch điện thì chỉ có một nghiệm duy nhất, vậy số phương trình phải bằng số ẩn.

Do đó V + F – 2 = E.

Đây chính là công thức Euler phải chứng minh.

Khai triển công thưc Taylor – Maclaurin (Taylor Expansion)

1. Công thức khai triển:

Giả thiết hàm số y = f(x) có tất cả các đạo hàm đến cấp n + 1 (kể cả đạo hàm cấp n + 1) trong một khoảng nào đó chứa điểm x = a.

Hãy xác định một đa thức y = P_n(x) bậc n mà giá trị của nó tại x = a bằng giá trị f(a) và giá trị của các đạo hàm đến hạng n của nó bằng giá trị của các đạo hàm tương ứng của hàm số f(x) tại điểm đó. Nghĩa là:

P_n(a) = f(a) ; P_{n}^{'}(a) = f'(a);...; P_{n}^{(n)}(a) = {{f}^{(n)}}(a) (1)

Ta hy vọng sẽ tìm được một đa thức như thế trong một ý nghĩa nào đó “gần” với hàm số f(x).

Ta sẽ xác định đa thức đó dưới dạng một đa thức theo lũy thừa (x – a) với các hệ số cần xác định:

{{P}_{n}}(x)={{C}_{0}}+{{C}_{1}}.(x-a)+{{C}_{2}}.{{(x-a)}^{2}}+...+{{C}_{n}}.{{(x-a)}^{n}} \qquad (2)

Các hệ số C_0, C_1, C_2, ..., C_n được xác định sao cho điều kiện (1) được thỏa mãn.

Trước hết, ta tìm các đạo hàm của P_n(x) :

\left\{ \begin{array}{l} P_{n}^{'}(x) = C_1 + 2C_2(x-a) + 3C_3.{(x-a)}^2 + ... + nC_n{(x-a)}^{n-1} \\ P_{n}^{''}(x) = 2C_2+3.2C_3.(x-a) + ... + n(n-1)C_n{(x-a)}^{n-2} \\ .................................................................................. \\ P_{n}^{(n)}(x) = n(n-1)...2.1.C_n \\ \end{array} \right. (3)

Thay x = a vào các biểu thức (2) và (3) ta có:

\left\{\begin{array}{l} P_n(a) = C_0 \\ P_n^{'}(a) = C_1 \\ P_n^{''}(a) = 2.1.C_2 \\ \text{....................................} \\ P_n^{(n)}(a) = n.(n-1)...2.1C_n \\ \end{array} \right.

So sánh với điều kiện (1) ta có:

\left\{ \begin{array}{l} f(a)={{C}_{0}} \\ f'(a)={{C}_{1}} \\ f''(a)=2.1.{{C}_{2}} \\ ....................... \\ {{f}^{(n)}}(a)=n.(n-1)...2.1.{{C}_{n}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {{C}_{0}}=f(a) \\ {{C}_{1}}=f'(a) \\ {{C}_{2}}={ \dfrac{1}{2!}}.f''(a) \\ ....................... \\ {{C}_{n}}={ \dfrac{1}{n!}}.{{f}^{(n)}}(a) \\ \end{array} \right. (4)

Thay các giá trị của C_0, C_1, C_2, ..., C_n vào công thức (2) ta có đa thức cần tìm:

\begin{array}{r}P_n(x) = f(a) + { \dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a) + { \dfrac{f''(a)}{2!}}(x-a)^2 + { \dfrac{f'''(a)}{3!}}(x-a)^3 + \\ ... + { \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^n \\ \end{array}

Ký hiệu bằng R_n(x) , hiệu giữa giá trị của hàm số đã cho f(x) và đa thức mới lập P_n(x) (hình vẽ):{{R}_{n}}(x) = f(x) - {{P}_{n}}(x)

Hay:

\begin{array}{r} f(x) = f(a) + { \dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a) + { \dfrac{f''(a)}{2!}}{{(x-a)}^{2}} + { \dfrac{f'''(a)}{3!}}{{(x-a)}^{3}} + ... \\ + { \dfrac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!}}{{(x-a)}^{n}} + {{R}_{n}}(x) \\ \end{array} (6)

taylorR_n(x) gọi là số hạng dư – đối với những giá trị x làm cho số hạng dư R_n(x) bé, thì khi đó đa thức P_n(x) cho biểu diễn gần đúng của hàm số f(x).

Do đó, công thức (6) cho khả năng thay hàm số y = f(x) bằng đa thức P_n(x) với độ chính xác tương ứng bằng giá trị của số hạng dư R_n(x)

Ta sẽ xác định những giá trị x để số hạng dư R_n(x) khá bé .

Viết số hạng dư dưới dạng: {{R}_{n}}(x) = { \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}Q(x) (7)

Trong đó Q(x) là hàm số cần phải xác định.

Với x và a cố định, hàm số Q(x) có giá trị xác định, ký hiệu giá trị đó bằng Q.

Ta xét, hàm số phụ theo biến t (t là giá trị nằm giữa a và x) :

\begin{array}{r}F(t) = f(x) - f(t) - { \dfrac{x-t}{1!}}f'(t) - { \dfrac{(x-t)^2}{2!}}f''(t) - ... \\ - { \dfrac{(x-t)^n}{n!}}f^{(n)}(t) - { \dfrac{(x-t)^{n+1}}{(n+1)!}}Q \\ \end{array} (8)

Tìm đạo hàm F’(t) :

\begin{array}{l} {F}'(t)=-{f}'(t)+{f}'(t)-{ \dfrac{(x-t)}{1}}{f}''(t)+{ \dfrac{2(x-t)}{2!}}{f}''(t) \\ \qquad -{ \dfrac{{{(x-t)}^{2}}}{2!}}{f}'''(t)+...-{ \dfrac{{{(x-t)}^{n-1}}}{(n-1)!}}{{f}^{(n)}}(t)+{ \dfrac{n{{(x-t)}^{n-1}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(t) \\ \qquad -{ \dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ \dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q \\ \end{array}

Rút gọn lại ta được :

F'(t)=-{ \dfrac{{{(x-t)}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(t)+{ \dfrac{(n+1){{(x-t)}^{n}}}{(n+1)!}}Q \qquad (9)

Vậy hàm số F(t) có đạo hàm tại mọi điểm t gần điểm có hoành độ a.

Ngoài ra, từ công thức (8) ta có : F(x) = 0 và F(a) = 0.

Vì vậy, áp dụng công thức Rolle cho hàm số F(t) , tồn tại một giá trị t = \xi nằm giữa a và x sao cho F'(\xi) = 0

Thế vào (9) ta có : F'(\xi )=-{ \dfrac{{{(x-\xi )}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n+1)}}(\xi )+{ \dfrac{(n+1){{(x-\xi )}^{n}}}{(n+1)!}}Q

Suy ra : Q = f^{(n+1)}(\xi)

Thay biểu thức này vào công thức (7) ta được :

{{R}_{n}}(x) ={ \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(\xi ) – số hạng dư Larange

\xi là giá trị nằm giữa a và x, nên nó có thể viết dưới dạng: \xi = a + {\theta}(x-a) , \theta \in [0 ;1]

Nghĩa là : R_n(x) = { \dfrac{(x-a)^{n+1}}{(n+1)!}}f^{(n+1)}[a+{\theta}(x-a)]

Công thức:

\begin{array}{r} f(x)=f(a)+{\dfrac{f'(a)}{1!}}(x-a)+{ \dfrac{f''(a)}{2!}}{{(x-a)}^{2}}+{ \dfrac{f'''(a)}{3!}}{{(x-a)}^{3}}+...\\ +{ \dfrac{{{f}^{(n)}}(a)}{n!}}{{(x-a)}^{n}} +{ \dfrac{{{(x-a)}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}[a+\theta (x-a)] \\ \end{array} – gọi là công thức khai triển Taylor (Taylor expansion) của hàm số f(x).

Nếu trong công thức Taylor, đặt a = 0 thì nó viết dưới dạng:

\begin{array}{r} f(x) = f(0)+{ \dfrac{x}{1!}}f'(0) + { \dfrac{{{x}^{2}}}{2!}}f''(0) + { \dfrac{{{x}^{3}}}{3!}}f'''(0) + ... + { \dfrac{{{x}^{n}}}{n!}}{{f}^{(n)}}(0) \\ + { \dfrac{{{x}^{n+1}}}{(n+1)!}}{{f}^{(n+1)}}(\theta x) , \qquad \theta \in [0;1] \\ \end{array}

là công thức xấp xỉ hàm f(x) thành đa thức bậc n tại x = 0, với số dư R_n(x) – được gọi là công thức khai triển Maclaurin (Maclaurin expansion).

Tóm lại, ta có định lý sau:

Nếu hàm số y = f(x) có các đạo hàm f'(x) , f''(x) , ... , f^{(n)}(x) liên tục tại điểm x_0 và có đạo hàmf^{(n+1)}(x) trong lân cận của x_0 thì tại lân cận đó ta có công thức khai triển:

\begin{array}{r} f(x) = f({{x}_{o}}) + { \dfrac{f'({{x}_{o}})}{1!}}(x-{{x}_{o}}) + { \dfrac{f''({{x}_{o}})}{2!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{2}} + ... \\ + { \dfrac{{{f}^{(n)}}({{x}_{o}})}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n}}+{ \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(c)}{n!}}{{(x-{{x}_{o}})}^{n+1}} \\ \end{array}

(c ở giữa x_0 và x, c = x_0+ a(x-x_0), 0 < a <1 )

Công thức này gọi là công thức khai triển Taylor cấp n, số hạng của cùng gọi là số hạng dư của nó. Đặc biệt x = 0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin (công thức khai triển tại lân cận x_0 = 0 ):

\begin{array}{r} f(x) = f(0) + { \dfrac{f'(0)}{1!}}x + { \dfrac{f''(0)}{2!}}{{x}^{2}} + ... + { \dfrac{{{f}^{(n)}}(0)}{n!}}{{x}^{n}} + { \dfrac{{{f}^{(n+1)}}(\theta x)}{n!}}{{x}^{n+1}}, \\ \qquad (0<{\theta}<1) \\ \end{array}

Chuỗi Fourier

1. Các kết quả:

Biểu thức Toán học:

F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{\infty} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx))}  (1)

được gọi là chuỗi Fourier nếu (1) hội tụ.

1.1 Định nghĩa. Một đa thức Fourier là biểu thức có dạng:

F_n(x) = A_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(A_{k} cos(kx) + B_{k} sin(kx)).}

Các hệ số a0, aibi, i = 1,2,…, n, được gọi là hệ số của Fn(x).

Đa thức Fourier là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π. Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản ta có:

img6.gif

Chúng ta có thể chứng minh dễ dàng các công thức sau:
(1) Với n ≥ 0, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx)} \, dx = 0\int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx)} \, dx = 0

(2) Với mọi m , n ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).sin(mx)} \, dx = 0

(3) Với n ≠ m, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos(nx).cos(mx)} \, dx = 0\int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin(nx).sin(mx)} \, dx = 0

(4) Với n ≥ 1, ta có:

\int\limits_{-\pi}^{\pi}{cos^{2}(nx)} \, dx = \pi \int\limits_{-\pi}^{\pi}{sin^{2}(nx)} \, dx = \pi

Sử dụng các công thức trên, chúng ta có kết quả sau:

1.2 Định lý: Cho

F_n(x) = a_0 + \sum\limits_{k=1}^{k=n} {(a_{k} cos(kx) + b_{k} sin(kx)).}

Ta có:

img16.gif

Định lý trên giúp ta có thể tìm được hệ số Fourier của các hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π.


2. Khai triển hàm số thành chuỗi Fourier:

Định nghĩa. Cho f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2π và khả tích trên đoạn [- π ; π]. Đặt:

img18.gif

Khi đó, chuỗi lượng giác:

a_0 + \sum {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}

được gọi là khai triển Fourier của hàm số f(x) tương ứng. Ký hiệu:

F_n(x) \sim a_0 + \sum\limits_{n=1}^{\infty} {(a_{n} cos(nx) + b_{n} sin(nx)).}