Science Blog

Thừa số tích phân

Ta đã biết rằng điều kiện cần và đủ để một phương trình vi phân dạng P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 là một phương trình vi phân toàn phần : \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}

Như vậy, ta xét loại phương trình vi phân có dạng  \begin{cases}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\\\dfrac{\partial P}{\partial y}\neq\dfrac{\partial Q}{\partial x}\end{cases}

Và ta cũng đã biết đến các dạng toán sử dụng thừa số tích phân p\neq 0 – hàm một biến đối với biến x hoặc y, để đưa phương trình này về dạng phương trình vi phân toàn phần.

Tuy nhiên, nếu quay trở lại định nghĩa thế nào là một thừa số tích phân, ta có một vấn đề cần nói đến ở đây.

Định nghĩa : Một hàm số p=p(x,y)\neq 0 được gọi là một thừa số tích phân nếu phương trình vi phân p(x,y)P(x,y)dx+p(x,y)Q(x,y)dy=0 là một phương trình vi phân toàn phần. Khi đó, phát sinh ra điều kiện cần và đủ đã được đề cập ở trên : \dfrac{\partial \left(pP\right)}{\partial y}=\dfrac{\partial \left(pQ\right)}{\partial x}

Điều này tương đương với \displaystyle{P\dfrac{\partial p}{\partial y}-Q\dfrac{\partial p}{\partial x}=p\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\hphantom((1)}

Ở các trường hợp cụ thể khi tìm thừa số tích phân theo một biến p=p(x)\neq 0 hoặc p=p(y)\neq 0 thì ta đã xử lý được. Tuy nhiên, thử đặt vấn đề nếu thừa số tích phân p đều phụ thuộc vào cả hai biến thì ta phải xử lý như thế nào? Ngoài việc phải giải phương trình (1) thì quá khó và liệu ta có thể phát triển thêm điều kiện nào khác?

Cho đến hiện nay thì vấn đề này vẫn chưa có được một câu trả lời rõ ràng.

My diary

Nếu ai đã từng trải qua những năm tháng ngồi trên ghế giảng đường, chắc hẳn sẽ nhớ lắm quãng đời sinh viên nhiều kỉ niệm khó quên. Những năm tháng ngọt ngào bởi nụ cười và nước mắt, rực rỡ bởi hạnh phúc cũng như bao nỗi khó khăn…Và với tôi, một người mới chỉ chập chững những bước đầu tiên trên bước đường chinh phục kiến thức, một sinh viên năm thứ nhất còn bỡ ngỡ với vô vàn thứ xung quanh, cũng đã dần cảm nhận được những điều đó.

Tôi là một đứa sinh viên tỉnh lẻ lên thành phố học đại học! Khi còn là những cô cậu học sinh ngồi trên ghế nhà trường, chúng tôi vẫn nuôi bao hoài bão cho tương lai: thi đỗ vào trường Đại học mình yêu thích… Tôi vẫn nhớ cái cảm giác hồi hộp và lo lắng khi từng ngày chờ đợi điểm thi Đại học. Tôi cũng không được may mắn như các bạn là được học ở trường ĐH mà mình mong muốn. Nhưng tôi đã có 1 hướng đi mới là “Đại Học BÁCH KHOA HÀ NỘI” Tôi sẽ cố gắng thực hiện ước mơ của mình. Và, đối với những đứa “quê mùa” như tôi, thì phần lớn là vì ngày mai thôi, tôi sẽ có thêm nhiều thầy mới bạn mới!

Khi còn trong vòng tay chở che của gia đình, mẹ cha chăm lo cho từng bữa ăn từng giấc ngủ, từ miếng cơm manh áo đều được mẹ cha quan tâm. Nhưng khi học xa nhà, chúng tôi phải tự lo cho bản thân mình, tự chăm sóc, tự làm tất cả mọi việc chứ không thể cậy nhờ được nữa. Thêm vào đó, mức chi tiêu ở mỗi vùng khác nhau, ở thành phố cái gì cũng đắt đỏ hơn nhiều so với ở quê, vì vậy, ai cũng phải cân nhắc khi chi tiêu hàng ngày. Cũng như tất cả mọi người chúng tôi cũng có rất nhiều những nhu cầu riêng, nhưng những nhu cầu ấy chỉ được đáp ứng một phần nhỏ mà thôi.

Mỗi người trong chúng tôi lại có một hoàn cảnh khác nhau, người thì bố mẹ khá giả gửi lên cho nhiều tiền chi tiêu, người thì phải bóp mồm bóp miệng suốt cả tháng vì bố mẹ ở quê cũng rất khó khăn. Nhưng dù thế nào thì mỗi chúng tôi cũng phải tự tính toán việc tiêu pha như thế nào cho phù hợp. Đôi lúc trong cuộc sống không tránh khỏi những phát sinh, ban đầu, chúng tôi cũng hơi luống cuống vì mình chưa phải rơi vào những tình huống đó bao giờ. Nhưng rồi, cuộc sống dậy chúng tôi phải biết đứng vững, phải biết tin vào bản thân mình. Chúng tôi bắt đầu xin đi làm thêm để bớt đi gánh nặng trên vai cha mẹ và cũng là để tự mình đáp ứng nhiều hơn những nhu cầu của bản thân. Đối với tôi, đi dạy thêm không chỉ kiếm thêm thu nhập giúp cho bố mẹ phần nào mà chính qua đó tôi tích luỹ được nhiều kinh nghiệm hơn và tạo thêm nhiều mối quan hệ sau này sẽ giúp ích rất nhiều cho bản thân khi ra ngoài xã hội.

Khi xa nhà không ai tránh khỏi những lúc nhớ nhà, vì gia đình luôn là nơi mỗi chúng ta cảm thấy vui vẻ nhất, thoải mái nhất và đầm ấm nhất. Với những bạn ở gần, gia đình luôn luôn sum họp, đó là một may mắn lớn lao. Còn với những người phải học xa nhà như chúng tôi, một tháng mới được về nhà một lần… [to be continue]

Cảm xúc của một sinh viên năm nhất Bách Khoa

Tớ không nói tất cả những khoảnh khắc của cuộc sống đều sẽ vui vẻ , hạnh phúc, lạc quan như nhau. Phải có lúc này lúc khác, thế mới là cuộc sống. Cũng giống như những bản nhạc, có nốt trầm nốt bổng, thế mới tạo ra một bản nhạc hay. Thế nhưng, bạn hãy thành thật với lòng mình, đừng vì bất cứ lý do gì mà nhấn chìm bản thân vào những mộng tưởng hay những nỗi buồn.

Hè đến, ve kêu râm ran, hoa phượng và bằng lăng thi nhau nở rộ. Vẻ đẹp của mùa hè, có lẽ với mỗi người ấn tượng sẽ khác nhau, nhưng tựu chung, ai cũng nhớ nhung mùa hè theo cái tên gọi : Mùa của chia tay.

Thời gian thấm thoắt trôi đi, không chờ đợi ai, không chịu nhượng bộ bất cứ điều gì. Cách đây gần một năm, có những cô bé, cậu bé vội rời chân khỏi mái trường Trung học , rời bước khỏi tuổi học trò thân thương, bé nhỏ, để bước tới một cánh cổng lớn hơn, một cột mốc đánh dấu sự trưởng thành hơn của đời người. Biết bao nhiêu cố gắng, nỗ lực, quyết tâm, biết bao nước mắt, nụ cười, để rồi, những đứa trẻ như chúng tôi đây, dù bỡ ngỡ biết mấy, cũng phải trải qua, cũng phải học cách trưởng thành. Bước chân qua cánh cổng Parabol, một năm, không quá lâu, cũng không gọi là ngắn ngủi, để lòng người có những trải nghiệm, những kỉ niệm, cũng nỗi niềm khó gọi tên. Bách Khoa trong tôi, trong bạn, là những gì?

Còn nhớ cách đây gần một năm, đứng bên ngoài cổng trường, du dương khúc nhạc của tuổi học trò, trái tim khẽ có nắng, cũng chẳng nghĩ sẽ có một ngày được trở thành sinh viên của ngôi trường này. Nghĩ lại, cảm xúc hẳn không mấy phai nhạt, phải không? Có chút bối rối, có chút lo lắng, vụng dại, nhưng đều rất đỗi thân thương, đáng trân trọng. Tuổi trẻ chẳng bao giờ thắm lại lần hai, vậy nên, mỗi chúng ta hãy cố gắng cống hiến sức trẻ cho sự nghiệp, cho học hành, cho quê hương, xứ sở, cho chính bản thân và những người thân yêu. Phải chăng, bạn cũng giống như tôi đây, đã “ trót yêu thương “ mái trường này tự thưở nào cũng không hay. Chỉ thấy, tình yêu ấy vừa nhẹ nhàng, vừa vấn vương đến lạ kì.

Hình ảnh có liên quan

Cảm xúc của một sinh viên năm nhất – ở ngôi trường này – là những gì? Là những buổi học bài, thảo luận hay nghiên cứu giáo trình trên thư viện. Những bỡ ngỡ khi chuyển bước từ một học sinh thành một sinh viên đã được xóa nhòa bằng sự tận tâm, nhiệt huyết của những cô, những thầy làm việc ở thư viện. Sẽ thật khó khăn nếu phải thích nghi với cuộc sống mới nêu chỉ có một mình, nhưng sẽ dễ dàng hơn rất nhiều, khi bên ta, có các thầy cô, có bạn bè, có các anh chị tiền bối. Đôi khi, tình yêu thương một xứ sở xuất phát chính từ tình cảm dành cho một người ở nơi đó. Có thể, tại ngôi trường này, bạn đã tìm thấy một bóng hình khiến cho bản thân thấy nhớ nhung và tự muốn bản thân trở nên hoàn thiện hơn, vì người ấy; cũng có thể, bạn có những người bạn mới, bạn được làm những việc trước đây chưa từng trải qua.

Sinh viên năm nhất, đặc biệt đối với những bạn phải xa quê đến đây để học tập, sẽ gặp rất nhiều khó khăn, nhưng đồng thời đây cũng là cơ hội cho các bạn trải nghiệm cuộc sống và trưởng thành hơn. Những bỡ ngỡ, những cố gắng không ngừng, là mong ước, là hướng tới tương lai. Yêu làm sao bóng dáng thầy cô dùng hết sự tận tâm của đời người để chỉ bảo cho những sinh viên mới chập chững bước vào cánh cổng học làm người lớn. Phải học nghề, cũng phải học làm người. Thầy cô không chỉ chia sẻ những kinh nghiệm, những kiến thức trong sách vở, mà còn dạy ta những kinh nghiệm sống mới mẻ, bổ ích, để ta không bị quá bỡ ngỡ khi bước ra cuộc sống khắc nghiệt ngoài guồng quay thị trường. Yêu làm sao những tiết học hăng say, yêu những giờ làm bài tập, yêu thêm cả những tiếng cười.

Bách Khoa trong tôi là những buổi rèn luyện thể dục thể thao, là sự ham học hỏi, là những lo lắng rất đỗi “thường tình”: lo thi qua môn. Tuy khó khăn, nhưng với sức trẻ không ngừng, cùng say mê, cùng nỗ lực, tất cả sẽ không thể ngăn cản bước chân của những sinh viên trẻ trung, năng động.

Ở ngôi trường này, là nơi tôi học cách trở nên bản lĩnh hơn, trở nên mạnh mẽ và cứng cỏi hơn. Ngôi trường đã, đang và sẽ là niềm tự hào của chúng tôi, ngôi trường như minh chứng cho những thời khắc của tuổi trẻ, cho sự lớn lên của những tâm hồn. Sinh viên năm nhất – là cái tuổi vẫn được coi là sự chuyển giao giữa hai mức độ người lớn và trẻ con. Sinh viên năm nhất – có biết bao khát khao và hoài bão của tuổi trẻ. Sinh viên năm nhất – biết trân quý từng phút giây , biết cống hiến , biết yêu thương, biết tập trung định hướng cho tương lai. Sẽ chẳng dễ dàng để từ bỏ cái tôi bé nhỏ, vụng dại, nhưng cũng sẽ không khó khăn nếu bên bạn có những người bạn tốt. có những thầy cô luôn hết lòng thì thế hệ trẻ. Yêu thương biết bao nhiêu cho đủ đây?

Sinh viên năm nhất – nhìn những anh chị khóa trên ra trường, lòng tự hỏi: Là nhanh hay chậm thế? Bao giờ đến lượt mình như vậy? Lúc ấy, cảm giác của mình, sẽ là buồn hay vui?

Khó có thể định nghĩa hay gọi tên được tất những xúc cảm này, nhưng vẫn thấy trong lòng có nỗi buồn man mác không tên. Phải sống sao cho xứng đáng với những công lao nuôi nấng của đấng sinh thành, xứng đáng với công lao dạy dỗ của thầy cô, xứng đáng với những công sức bản thân đã nỗ lực bỏ ra.

Một năm trôi qua, nhìn góc sân nào cũng thấy những kỉ niệm. Những cô cậu sinh viên như chúng tôi đây, rồi đây cũng sẽ lớn, rồi đây cũng sẽ bị bánh quay của thời gian, của công việc cuốn phăng đi theo. Nhưng sẽ là phí phạm biết bao, nếu buông lơi những xuyến xao trong tim mình, không chịu sẻ chia, không chịu thừa nhận.

Kết quả hình ảnh cho bách khoa hà nội

Có thể bạn đang yêu, có thể bạn chưa yêu, nhưng có sao đâu nhỉ, khi bạn và tớ, đều cùng có một tình yêu dành cho mái trường thân thương thế này? Chẳng phải chúng ta nên dùng tính chất bắc cầu ở đây, để nhận ra: ồ, ra thế, ra là chúng ta cùng yêu thương một mái trường. Thế chẳng phải chúng ta cũng yêu thương nhau – những người bạn đang cùng học chung một mái trường?

Tớ không nói tất cả những khoảnh khắc của cuộc sống đều sẽ vui vẻ , hạnh phúc, lạc quan như nhau. Phải có lúc này lúc khác, thế mới là cuộc sống. Cũng giống như những bản nhạc, có nốt trầm nốt bổng, thế mới tạo ra một bản nhạc hay. Thế nhưng, bạn hãy thành thật với lòng mình, đừng vì bất cứ lý do gì mà nhấn chìm bản thân vào những mộng tưởng hay những nỗi buồn.

Có một câu nói thế này : “Bản năng của con người là đi tìm hạnh phúc, chẳng ai đủ kiên nhẫn để nhấn chìm mình trong những nỗi đau mãi”. Thế nhưng, hạnh phúc đang tắc đường quá, chưa đến kịp. Vậy tại sao bạn không tự mình bước ra vỏ bọc, rào cản của chính mình, bước ra ngoài để trải nghiệm cuộc sống, để học giá trị của cho đi và nhận lại. Ai trong chúng ta rồi cũng sẽ để những phần cô bé, cậu bé trong tim mình ngủ quên đi, rồi học cách lớn lên, nhưng quan trọng, là thái độ sống, là cách ra trân trọng những giá trị mình đang có, phải không?

Tớ yêu HUST, bạn cũng thế, phải không?

Hà Nội, Ngày 26/05/2017

Mật độ tới hạn của vũ trụ

Trong bài này chúng ta sẽ làm quen với khái niệm mật độ tới hạn của vũ trụ và một một đại lượng khác thường được gọi đơn giản là \Omega. Giá trị của \Omega là đại lượng quyết định số phận cuối cùng của vũ trụ, nên nó rất quan trọng. Để đọc bài này các bạn chỉ cần có kiến thức vật lý phổ thông.

Khi ta đứng trên mặt đất và tung một hòn đá lên, nó sẽ bay lên nhưng cuối cùng sẽ rơi xuống đất. Đó là do động năng của hòn đá không đủ để thắng thế năng của trọng trường của trái đất.

Bây giờ ta giả sử ta có thể giảm dần khối lượng của trái đất đi mà vẫn giữ kích thước của nó không thay đổi. Để làm như thế ta phải tưởng tượng mật độ của trái đất giảm dần đi. Lúc đó lực hấp dẫn của trái đất sẽ ngày càng yếu, vì lực hấp dẫn tỉ lệ thuận với khối lượng của vật thể. Đến một lúc nào đó hòn đá do ta tung lên sẽ vượt khỏi trọng trường để bay ra ngoài vũ trụ.

Trong vũ trụ học cũng có một hiện tượng như vậy. Qua quan sát ta biết vũ trụ đang giãn nở ra với tốc độ đặc trưng bằng hằng số Hubble (xem ở dưới). Với cùng một tốc độ giãn nở này, nếu vũ trụ có mật độ \rho cao hơn một mật độ \rho_c nào đó thì đến một lúc nào đó nó sẽ không nở ra nữa mà bắt đầu co lại. Ngược lại, nếu \rho<\rho_c nhỏ thì vũ trụ sẽ giãn ra mãi. \rho_c được gọi là tới hạn là mật độ tới hạn.

Trong bài này ta sẽ tính mật độ tới hạn, giả sử hằng số Hubble H là đã biết. Định luật Hubble, xin nhắc lại, là như sau: trong vũ trụ đang giãn nở, hai thiên hà cách nhau khoảng cách bằng a chạy ra xa nhau với vận tốc v tỉ lệ thuận với a. Hằng số tỷ lệ H trong công thức v=Ha được gọi là hằng số Hubble.

Ta tưởng tượng một mô hình vũ trụ rất đơn giản: ta giả sử vũ trụ là một quả cầu có mật độ vật chất là \rho. Mô hình này không hoàn toàn đúng vì vũ trụ không có ranh rới, không có điểm nào có thể coi là tâm hình cầu. Tuy nhiên mô hình đơn giản này sẽ cho ta kết quả đúng.

Ta theo dõi một ngân hà cách tâm quả cầu một khoảng cách bằng a. Gọi khối lượng của ngân hà này là m.

Ta lấy tâm hình cầu làm gốc toạ độ, và xét hệ quy chiếu mà tâm hình cầu đứng yên. Do sự giãn nở của vũ trụ, thiên hà chuyển động ra xa tâm hình cầu. Nếu ta ký hiệu vận tốc chuyển động của thiên hà là v, thì động năng của nó là mv^2/2.

Thế năng của ngân hà bằng -GMm/a, trong đó M là khối lượng vật chất bên trong quả cầu bán kính a: M=4\pi \rho a^3/3.

Như vậy vũ trụ sẽ giãn nở mãi mãi nếu  \displaystyle{\frac{mv^2}2} - G \displaystyle{\frac{4\pi a^3}3} \rho  \frac ma \ge 0

hay  \displaystyle{\frac{v^2}{a^2}} \ge \frac{8\pi G}3 \rho

Nhưng v/a chính là hằng số Hubble H. Bất đẳng thức trên có thể viết thành điều kiện để vũ trụ nở ra mãi mãi

\rho \le \rho_c

trong đó   \rho_c = \displaystyle{\frac{3H^2}{8\pi G}}

chính là mất độ tới hạn. Trong khi đó nếu \rho > \rho_c vũ trụ sẽ co lại.

Tỷ số   \Omega = \displaystyle{\frac{\rho}{\rho_c}}

quyết định số phận của vũ trụ (“Ta là \alpha\Omega…”). Nếu \Omega>1 thì vũ trụ sẽ kết thúc bằng một vụ nổ lớn ngược: mọi thiên hà trong vũ trụ lại vào một điểm, nhiệt độ càng ngày càng cao lên, tiến đến vô cùng. Nếu \Omega\le1 thì tương lai của vũ trụ sáng sủa hơn một chút: các ngân hà càng ngày càng xa nhau ra, vũ trụ ngày càng loãng đi, nhưng không có gì đặc biệt xảy ra.

Để biết tương lai vũ trụ thế nào như vậy ta cần biết \rho\rho_c. Hiện nay ta biết hằng số Hubble khá chính xác:

H = 70 \textrm{km/s/Mpc}

Ở đây Mpc (megaparsec) là đơn vị độ dài dùng trong thiên văn, bằng 3.1 \times 10^{22} m, từ đó ta có thể tìm thấy mật độ tới hạn:

\rho_c \approx 8.5 \times 10^{-27} \textrm{kg/m}^3

Còn để tìm \rho ta phải khoanh ra một thể tích trong vũ trụ và tìm cách “cân” vật chất bên trong thể tích này. Trong một thời gian dài người ta đo được \Omega chỉ độ 0.3, trong đó 0.04 từ vật chất nhình thấy, còn lại từ vật chất không nhìn thấy (“vật chất tối”). Tuy nhiên lý thuyết inflation tiên đoán \Omega=1 với độ chính xác cao. Trong nhiều năm (đầu và giữa những năm 90) nhiều nhà vật lý lý thuyết  vẫn giữ niềm tin sắt son là \Omega=1 mặc dù quan sát có vẻ cho thấy \Omega<1. Cuối cùng, năm 1998 ta biết trong vũ trụ còn một dạng vật chất nữa gọi là “năng lượng tối”, với mật độ bằng khoảng 0.7\rho_c. Cộng thêm mật độ vật chất tối ta có \Omega\approx 1 phù hợp với tiên đoán của lý thuyết inflation.

Những tính toán trong bài này hoàn toàn dựa vào lý thuyết hấp dẫn của Newton, tuy nhiên kết quả chính của bài này (công thức liên hệ \rho_cH) không thay đổi nếu ta dùng thuyết tương đối rộng của Einstein.

Phòng đọc: Vũ trụ tăng tốc và giả tinh thể

Lần này chương trình của Phòng đọc hơi nặng, do hai giải Nobel về Vật lý và Hóa học đều về những vấn đề hay. Tôi chọn cho mỗi giải Nobel 2 bài báo, một bài ở mức hơi kỹ thuật một chút, một bài ở mức rất phổ thông, để chúng ta cùng đọc.

Về giải Nobel vật lý, chúng ta đọc bài sau:

L.M. Krauss and M.S. Turner, A Cosmic Conundrum, Scientific American, Sep 2004, p.71.

Đây là bài phổ biến khoa học hay nhất mà tôi tìm thấy về vấn đề này. Nếu bạn nào muốn đọc ở mức phổ thông hơn thì có thể xem bài ở blog Đông A, Kẻ giấu mặt trong vũ trụ.

Và nhân dịp giải Nobel về hóa học 2011, ta đọc bài sau:

D.R. Nelson, Quasicrystals, Scientific American, Aug 1986, p.43.

Rất tiếc bản pdf tôi tìm được hơi mờ. Và liên quan đến đề tài giả tinh thể này cũng có một bài báo rất phổ thông và rất hay:

J.N.Wilford, In Medieval Architecture, Signs of Advanced Math, New York Times, Feb 27, 2007.

(chú ý rằng Paul Steinhardt trong bài này cũng là một trong những người đầu tiên đưa ra lý thuyết inflation trong vũ trụ học)

Cập nhật 7/10: Physical Review Focus có một bài báo rất ngắn gọn về sự khám phá ra giả tinh thể (ta chú ý là bài báo của Shechtman được đăng ở một tạp chí vật lý, Physical Review Letters, chứ không phải một tạp chí hoá học). Bài trên Focus cũng nhắc đến công trình rất quan trọng của hai nhà vật lý lý thuyết, Levine và Steinhardt.

Câu đố 1 (8/10): Khoảng giữa những năm 90, trước những quan sát supernova Ia, người ta đánh giá tuổi của vũ trụ là khoảng 8 tỷ năm. Sau khi kết quả quan sát supernova Ia cho thấy vũ trụ đang giãn nở ngày một nhanh lên, đánh giả tuổi của vũ trụ nhảy lên thành 14 tỷ năm. Tại sao đánh giá tuổi của vũ trụ lại tăng lên? (Để hiểu điều này không cần tính toán, chỉ cần suy luận logic ở mức định tính)

Vành đai Kuiper

Vành đai Kuiper – tranh của Don Dixon

Giải Kavli năm 2012 về vật lý thiên văn được trao cho ba người: David Jewitt (UCLA), Jane Luu (MIT) và Michael Brown (Caltech) cho sự khám phá ra vành đai Kuiper. Nhân dịp này chúng ta đọc bài

M. Bartusiak, The Remarkable Odyssey of Jane Luu, Astronomy, Feb 1996, p.46.

về Jane Luu và công trình của chị. Chị Jane Luu (Lưu Lệ Hằng) sinh ra ở Sài Gòn, sang Mỹ năm 1975.

Giả thuyết rằng hệ mặt trời không kết thúc ở Pluto mà ngay rìa của hệ mặt trời còn có một vành đai các tiểu hành tinh được Edgeworth và Kuiper đưa ra khoảng những năm 1943-1951. (Trung tá quân đội Anh Edgeworth là một nhân vật khá thú vị, đã viết 4 cuốn sách về kinh tế học với những đầu đề như Unemployment Can Be Cured, và chỉ bắt đầu nghiên cứu kinh tế học và thiên văn học sau khi về hưu.) Nhưng chỉ đến năm 1992, vật thể đầu tiên trong vành đai này mới được tìm ra bởi David Jewitt và Jane Luu. Michael Brown, lúc đó là nghiên cứu sinh ở Berkeley, kể lại như sau trong cuốn How I Killed Pluto and Why It Had It Coming:

One afternoon, as on many times previous, after spending too much time staring at data on my computer screen and reading technical papers in dense journals and writing down thoughts and ideas in my black bound notebooks, I opened the door of my little graduate student office on the roof of the astronomy building, stepped into the enclosed rooftop courtyard, and climbed the metal stairs that went to the very top of the roof to an open balcony. As I stared at the San Francisco Bay laid out in front of me, trying to pull my head back down to the earth by watching the boats blowing across the water, Jane Luu, a friend and researcher in the astronomy department who had an office across the rooftop courtyard, clunked up the metal stairs and looked out across the water in the same direction I was staring. Softly and conspiratorially she said, “Nobody knows it yet, but we just found the Kuiper belt.”

I could tell that she knew she was onto something big, could sense her excitement, and I was flattered that here she was telling me this astounding information that no one else knew.

“Wow,” I said. “What’s the Kuiper belt?”

It’s funny today to think that I had no idea what she was talking about…

Michael Brown sau này tìm thêm nhiều vật thể trong vành đai Kuiper, trong đó có vật thể còn to hơn Pluto. Sự tìm ra hàng loạt các vật thể mới dẫn đến việc Pluto không còn được coi là hành tinh nữa.

Người ta nghĩ là các sao chổi có chu kỳ nhỏ (< 200 năm) có nguồn gốc từ vành đai Kuiper, còn các sao chổi có chu kỳ cao hơn có nguồi gốc từ một cái gọi là đám mây Oort xa mặt trời hơn nhiều (gấp 1000 lần vành đai Kuiper). Đám mây Oort tới nay vẫn còn là giả thuyết.

Obama và kỷ Phấn trắng

Trên trang của National Public Radio của Mỹ có bài

Obama’s Secret Weapon In The South: Small, Dead, But Still Kickin’

Ta nhìn hai bản đồ sau:

Bản đồ bên trái là kết quả bầu cử tổng thống ở vùng đông nam nước Mỹ. Vùng này theo đảng Cộng hoà, nhưng nếu nhìn chi tiết kết quả bầu cử theo từng quận ta thấy một dải màu xanh những quận bầu cho Obama, trong một biển đỏ những vùng bầu cho Romney. Bản đồ bên phải là bản đồ bắc Mỹ cuối kỷ Phấn trắng, 75 triệu năm trước đây. Lúc đó mực nước biển cao hơn bây giờ. Ta thấy dải xanh những vùng bầu cho Obama gần như trùng vào đường bờ biển vào kỷ Phấn trắng! Tại sao lại như vậy? Các bạn đọc bài trên sẽ biết.