Thừa số tích phân

Ta đã biết rằng điều kiện cần và đủ để một phương trình vi phân dạng P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 là một phương trình vi phân toàn phần : \dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}

Như vậy, ta xét loại phương trình vi phân có dạng  \begin{cases}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\\\dfrac{\partial P}{\partial y}\neq\dfrac{\partial Q}{\partial x}\end{cases}

Và ta cũng đã biết đến các dạng toán sử dụng thừa số tích phân p\neq 0 – hàm một biến đối với biến x hoặc y, để đưa phương trình này về dạng phương trình vi phân toàn phần.

Tuy nhiên, nếu quay trở lại định nghĩa thế nào là một thừa số tích phân, ta có một vấn đề cần nói đến ở đây.

Định nghĩa : Một hàm số p=p(x,y)\neq 0 được gọi là một thừa số tích phân nếu phương trình vi phân p(x,y)P(x,y)dx+p(x,y)Q(x,y)dy=0 là một phương trình vi phân toàn phần. Khi đó, phát sinh ra điều kiện cần và đủ đã được đề cập ở trên : \dfrac{\partial \left(pP\right)}{\partial y}=\dfrac{\partial \left(pQ\right)}{\partial x}

Điều này tương đương với \displaystyle{P\dfrac{\partial p}{\partial y}-Q\dfrac{\partial p}{\partial x}=p\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\right)\hphantom((1)}

Ở các trường hợp cụ thể khi tìm thừa số tích phân theo một biến p=p(x)\neq 0 hoặc p=p(y)\neq 0 thì ta đã xử lý được. Tuy nhiên, thử đặt vấn đề nếu thừa số tích phân p đều phụ thuộc vào cả hai biến thì ta phải xử lý như thế nào? Ngoài việc phải giải phương trình (1) thì quá khó và liệu ta có thể phát triển thêm điều kiện nào khác?

Cho đến hiện nay thì vấn đề này vẫn chưa có được một câu trả lời rõ ràng.

Advertisements